公理と証明 ──証明論への招待
彌永昌吉(著)
,赤攝也(著)
/ちくま学芸文庫
作品情報
数学は学問のなかでもっとも確実なもの、疑えないものと考えられている。数学の確かさは、出発点となる命題、つまり「公理」から、「証明」によって新しいことを導き出すという推論のしくみによって保証される。しかし公理や証明それ自体の確からしさは、いかにして基礎づけられるのだろうか? カントールの創りだした集合論が実は矛盾含みであることをラッセルが明らかにすると、数学者たちはこの問題に目を向けざるをえなくなったのだった。公理とは、証明とは何か? 本書はあらゆる数学の基礎となる公理系のしくみ、そして数学全体を見渡す理論である証明論の初歩を、具体例をもとに平易に解説した「数学の基礎」入門である。
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商品情報
- シリーズ
- 公理と証明 ──証明論への招待
- ジャンル
- サイエンス・テクノロジー - 数学・物理学・化学
- 出版社
- 筑摩書房
- 掲載誌・レーベル
- ちくま学芸文庫
- 書籍発売日
- 2012.09.10
- Reader Store発売日
- 2017.03.17
- ファイルサイズ
- 99.3MB
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この作品のレビュー
平均 4.0 (4件のレビュー)
-
んー普通です。
が、大学の工学部では解析学は(当然のことながら)数学基礎論は学ばないため、証明論を学ぶ機会は少ない。
しかも、証明論を平易に語る書籍が少ないのだ。本書はその数少ない書籍なのだろう。
…
第1章は公理とは何か、第2章は数学の基礎(実証主義、直観主義、形式主義)、そして第3章が証明論である。
目標はGödelの不完全性定理なのだろうと読み進めていくと、自然数論を含まない公理(例えば群論)系に対する無矛盾性を示して終了。
証明方法は大学の教科書に載っている方法である。
自然数論を含む公理系に関してはGödelの不完全性定理から、無矛盾性及び完全性は否定されている。それをもって証明論自体の存在意義を失っていると考えるかもしれない。
筆者が言うように、集合論や実数論における(有限の立場での)無矛盾性は証明されていない。まだまだ研究の余地はあるということだ。
そして何より、数学の健全性ということを証明するためには、この数学基礎論が主役となるのだ。今後の研究成果に期待である。続きを読む投稿日:2012.09.30
なんとか30代でゲーデルの定理を理解したいと思って、この手の本をいろいろ読んでますが、これは「入門書」であるらしいです。たしかに一般向けに書かれたものよりも数式が多い(文系の私にとっては、どうしてもそ…ういうものが指標になるのです)けど、なんとかついていけそうな感じです。とはいえ、内容はよくわからないところも結構あって、特に証明論の最後、無矛盾性の証明の節は、もう何やってるのかよくわかりません。。。
しかし、コンパクトな1冊なので、その分気は楽(笑)。数式はある程度読み飛ばして、読み物として読んでも面白いと思います。続きを読む投稿日:2014.04.21
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